Kvaternionová grupa

Graf cyklů kvaternionové grupy $Q_{8}$. Každá barva specifikuje sérii mocnin nějakého prvku. Například červená znázorňuje cyklus i ² = −1, i ³ = −i  a i ⁴ = 1.

Kvaternionová grupa $Q_{8}$ je konečná nekomutativní grupa řádu 8, spolu s dihedrální grupou (symetrie čtverce) $D_{4}$ jediná taková. Lze ji definovat pomocí jednotkových kvaternionů s operací kvaternionového násobení, jako množinu $Q_{8}=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$.

Grupa má reprezentaci

$Q_{8}=\langle -1,i,j,k\mid (-1)^{2}=1,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\rangle ,\,\!$

kde $1$ je neutrální prvek grupy a $-1$ komutuje se všemi dalšími prvky.

Násobení prvků podmnožiny $\{\pm i,\pm j,\pm k\}$ se chová stejně jako vektorový součin vektorů ortonormální báze třírozměrného Eukleidovského prostoru:

${\begin{alignedat}{2}ij&=k,&\qquad ji&=-k,\\jk&=i,&kj&=-i,\\ki&=j,&ik&=-j.\end{alignedat}}$

Maticová reprezentace

Kvaternionovou grupu lze reprezentovat komplexními maticemi $2\times 2$ zobrazením

$1\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

$i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}$

$j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$

$k\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}$

a $-1,-i,-j,-k$ jsou reprezentovány maticemi s opačnými znaménky všech koeficientů. Součiny těchto matic splňují výše uvedené grupové rovnosti. Všechny tyto matice jsou unitární, jedná se tedy o unitární reprezentaci grupy $Q_{8}$ na dvourozměrném komplexním prostoru.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Quaternion group na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu kvaternionová grupa na Wikimedia Commons